Question

求下列函数的值域：

(1)y＝；

(2)y＝；

(3)y＝x－；

(4)y＝x＋＋1，(x≠0)．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　(1)、(2)和(4)可采用方程的思想方法求出值域，即把函数看成是关于x的方程，利用方程有解的充要条件求出y的范围；(3)可采用换元法或利用函数单调性求出值域；(4)还可采用基本不等式或利用函数的单调性求出值域． 　　解答　　(1)由y＝，得x＝log3． 　　∵＞0，∴0＜y＜1． 　　(2)∵y＝＝－1＋． 　　又∵－1≤sinx≤1，得≤≤4． 　　∴≤y≤3． 　　(3)解法一：(换元法)，设＝t(t≥0)， 　　得x＝， 　　∴y＝－t＝－(t＋1)2＋1≤，t≥0， 　　∴y∈(－∞，]． 　　解法二：(利用函数的单调性)，∵1－2x≥0，∴x≤． 　　∴定义域为(－∞，]， 　　∵函数y＝x，y＝－均在(－∞，]上单调递增，∴y≤－＝， 　　∴y∈(－∞，]． 　　(4)解法一；(基本不等式法)． 　　由y＝x＋＋1，(x≠0)，得y－1＝x＋． 　　∵|x＋|＝|x|＋||≥2＝2． 　　∴|y－1|≥2，即y≤－1或y≥3． 　　解法二：(判别式法)． 　　由y＝x＋＋1，得x2＋(1－y)x＋1＝0． 　　∵方程有实根，∴△＝(1－y)2－4≥0． 　　即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2或y－1≥2． 　　得：y≤－1或y≥3． 　　评析　　第(1)题是通过求原函数的反函数的定义域，求原函数的值域．也可将原函数式化为3x＝，可利用指数函数的性质3x＞0得＞0．第(2)题采用了“部分分式法”求解，即将原分式分解成两项，其中一项为常数，另一项容易求出值域．形如y＝(a≠0，c≠0)的函数均可使用这种方法．本题也可化为sinx＝，利用|sinx|≤1，得||≤1，求函数的值域．第(3)题用换元法求函数的值域，要特别注意换元后新变量的取值范围．第(4)题利用基本不等式求函数的值域时，必须注意公式使用的条件，本题也可分x＞0，x＜0两类情况利用基本不等式求函数的值域；利用判别式法术函数值域的关键是构造自变量x的二次方程．