Question

求下列函数的值域：
（1）y=

x2

x2+1

；                  
 （2）y=2x+

x+1

．

Answer 1

分析：（1）由于函数y=1-

1

x2+1

，且0＜

1

x2+1

≤1，故有 0≤1-

1

x2+1

＜1，由此求得函数的值域．
（2）由于函数y=2x+

x+1

 在它的定义域{x|x≥-1}内是增函数，当x=-1时，函数有最小值等于-2，
当X趋于+∞时，y趋于+∞，从而得到函数的值域．

解答：解：（1）由于 y=

x2

x2+1

=

x2+1-1

x2+1

=1-

1

x2+1

，
∵0＜

1

x2+1

≤1，∴0≤1-

1

x2+1

＜1，故函数y=

x2

x2+1

的值域为[0，1）．

（2）由于函数y=2x+

x+1

 的定义域为{x|x≥-1}，且函数在其定义域内是增函数，
故当x=-1时，函数有最小值等于-2，当X趋于+∞时，y趋于+∞，
故函数的值域为[-2，+∞）．

点评：本题主要考查利用常数分离法求函数的值域，以及利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．