Question

已知函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）首先求出函数的定义域，把a=1代入函数解析式后，求出函数的导函数，由导函数等于0求出函数的极值点，结合定义域可得函数在定义域内取得最值的情况，从而求出函数的最值．
（2）把原函数求导后，对参数a进行分类，根据a的不同取值得到导函数在不同区间内的符号，从而得到原函数的单调区间．

解答：解：（1）函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定义域是（1，+∞）
当a=1时，f（x）=x²-x-ln（x-1），
f′(x)=2x-1-

1

x-1

=

2x(x- 3 2 )

x-1

，
当x∈(1，

3

2

)时，f^′（x）＜0，
所以f （x）在(1，

3

2

)为减函数．
当x∈(

3

2

，+∞)时，f^′（x）＞0，
所以f （x）在(

3

2

，+∞)为增函数，
则当x=

3

2

时，f（x）有极小值，也就是最小值．
所以函数f （x）的最小值为f(

3

2

)=

3

4

+ln2．
（2）f′(x)=2x-a-

a

x-1

=

2x(x- a+2 2 )

x-1

，
若a≤0时，则

a+2

2

≤1，f（x）=

2x(x- a+2 2 )

x-1

＞0在（1，+∞）恒成立，
所以f（x）的增区间为（1，+∞）．
若a＞0，则

a+2

2

＞1，故当x∈(1，

a+2

2

]，f′（x）=

2x(x- a+2 2 )

x-1

≤0，
当x∈[

a+2

2

，+∞)时，f（x）=

2x(x- a+2 2 )

x-1

≥0，
所以a＞0时f（x）的减区间为(1，

a+2

2

]，f（x）的增区间为[

a+2

2

，+∞)．

点评：本题考查了利用导数研究函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．考查了利用导数研究函数的单调性，函数的导函数在（a，b）内恒大于等于0，原函数在该区间内单调递增，函数的导函数在（a，b）内恒小于等于0，原函数在该区间内单调递减，此题是中档题．