Question

已知复数z=

3

2

-

1

2

i，ω=

2

2

+

2

2

i．复数

.

zω

，z²ω³在复数平面上所对应的点分别为P，Q．
证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．

Answer 1

分析：利用复数三角形式，化简复数z=

3

2

-

1

2

i，ω=

2

2

+

2

2

i．
然后计算复数

.

zω

，z²ω³，计算二者的夹角和模，即可证得结论．

解答：解法一：z=

3

2

-

1

2

i=cos(-

π

6

)+isin(-

π

6

)，ω=

2

2

+

2

2

i=cos

π

4

+isin

π

4

于是zω=cos

π

12

+isin

π

12

，

.

zω

=cos(-

π

12

)+isin(-

π

12

)，z2ω3=[cos(-

π

3

)+isin(-

π

3

)]×(cos

3π

4

+isin

3π

4

)=cos

5π

12

+isin

5π

12

因为OP与OQ的夹角为

5π

12

-(-

π

12

)=

π

2

，所以OP⊥OQ．
因为|OP|=|

.

z?

|=1．|OQ|=|z2?3|=1，所以|OP|=|OQ|
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．
解法二：
因为z=

3

2

-

1

2

i=cos(-

π

6

)+isin(-

π

6

)，所以z³=-i．
因为ω=

2

2

+

2

2

i=cos

π

4

+isin

π

4

，所以ω⁴=-1
于是

z2ω3

. zω

=

z2ω3

. zω

•

zω

zω

=

z3ω4

|z|2|ω|2

=i
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．

点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．