Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，AA₁=2，∠ABC=90°，M为棱CC₁上的中点．
（1）求三棱锥C₁-MAB的体积；
（2）求二面角C₁-AB-C的平面角．

Answer 1

解：（1）在直角三角形ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，所以AC=，所以AC边上的高为
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴B到平面C₁MA的距离为
∵AA₁=2，M为棱CC₁上的中点，
∴△C₁MA的面积为=
∴三棱锥C₁-MAB的体积等于三棱锥B-C₁MA的体积，即=；
（2）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，∴C₁B⊥AB
∴∠C₁BC为二面角C₁-AB-C的平面角
∵BC=1，CC₁=2，∴tan∠C₁BC==2
∴∠C₁BC=arctan2
∴二面角C₁-AB-C的平面角为arctan2．
分析：（1）利用三棱锥C₁-MAB的体积等于三棱锥B-C₁MA的体积，即可求解；
（2）确定∠C₁BC为二面角C₁-AB-C的平面角，即可得到结论．
点评：本题考查三棱锥体积的计算，考查面面角，考查学生转化问题的能力，属于中档题．