Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁=BC，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）在CC₁上是否存在一点E，使得∠BA₁E=45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A₁BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质、线面平行的判定定理即可得出；
（2）利用直棱柱的性质、正方形的性质、线面垂直的判定和性质定理即可证明；
（3）利用面面垂直的判定定理即可证明．

解答：证明：（1）连接AB₁与A₁B相较于点M，连接MD，则点M为AB₁的中点．
又D为AC的中点，由三角形的中位线定理可得：MD∥B₁C．
又∵B₁C?平面A₁BD，MD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）∵AB=B₁B，及直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∴四边形ABB₁A₁为正方形，BB₁⊥B₁C₁．
∴A₁B⊥AB₁．
又AC₁⊥平面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，
又AB₁∩AC₁=A．
∴A₁B⊥平面AB₁C₁，∴A₁B⊥B₁C₁．
∵A₁B∩BB₁=B，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．
（3）设AB=a，CE=x，∵B₁C₁⊥A₁B₁，在Rt△A₁B₁C₁中，有A1C1=

2

a，同理A1B1=

2

a，∴C₁E=a-x．
∴A1E=

2a2+(a-x)2

=

x2-2ax+3a2

，BE=

a2+x2

，
∴在△A₁BE中，由余弦定理得BE2=A1B2+A1E2-2A1B•A1Ecos45°，
即a²+x²=2a²+x²+3a²-2ax-2

2

a

3a2+x2-2ax

×

2

2

．
∴

3a2+x2-2ax

=2a-x，
∴x=

1

2

a，即E是C₁C的中点．
∵D、E分别为AC、C₁C的中点，∴DE∥AC₁．
∵AC₁⊥平面A₁BD，∴DE⊥平面A₁BD．
又DE?平面BDE，∴平面A₁BD⊥平面BDE．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的性质、线面平行的判定定理、直棱柱的性质、正方形的性质、线面与面面垂直的判定和性质定理是解题的关键．