题目内容

已知双曲线 $数学公式$ 的离心率为2，若抛物线 $数学公式$ 的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，若A、B是C₂上两点且OA⊥OB，则直线AB与y轴的交点的纵坐标为

A.
$数学公式$
B.
16
C.
8
D.
$数学公式$

B
分析：抛物线焦点为F（0， $\text{[math]}$ ），由e= $\text{[math]}$ =2，抛物线焦点至双曲线一渐近线距离d= $\text{[math]}$ =2，推导出抛物线方程为：x²=±16y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ ，得到x₁x₂=-256，y₁y₂=256．设AB方程为：y=kx+m，根据韦达定理，x₁x₂=-16m，从而得到m=16，由此能求出直线AB与y轴的交点的纵坐标．
解答：抛物线焦点为F（0， $\text{[math]}$ ），
e= $\text{[math]}$ =2，
∴c=2a，
b= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
双曲线一渐近线方程为：y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ =0，
∵抛物线焦点至双曲线一渐近线距离d= $\text{[math]}$ =2，
∴p=±8，
∴抛物线方程为：x²=±16y，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴ $\text{[math]}$ =（x₁，y₁）， $\text{[math]}$ =（x $\text{[math]}$ ，y₂），
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵ $\text{[math]}$ =16y₁， $\text{[math]}$ =16y₂，
∴x₁x₂+ $\text{[math]}$ =0，
∴x₁x₂=-256，①
y₁y₂=256，②
设AB方程为：y=kx+m，
x²=±16（kx+m），
x²±16kx-16m=0，
根据韦达定理，x₁x₂=-16m，
由①式得：-256=-16m，
∴m=16，
由直线方程x=kx+m可知，m是直线在y轴的截距，即是交点的纵坐标，
∴直线AB与y轴的交点的纵坐标为16，
故选B．
点评：本题考查直线与y轴交点的纵坐标的求法，具体涉及到双曲线、抛物线、韦达定理、点到直线的距离公式等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．