Question

【题目】已知f（x）=x|x﹣a|+2x﹣3，其中a∈R
（1）当a=4，2≤x≤5时，求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值．
（2）若f（x）在R上恒为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解:∵f（x）=x|x﹣a|+2x﹣3，

∴当a=4时， ；

作图如下：

由图知，当x=5时，f（x）max=f（5）=52﹣2×5﹣3=12；

当x=2或4时，f（x）min=f（2）=f（4）=﹣22+6×2﹣3=5，

（2）解: ，

∵f（x）在R上恒为增函数，

∴ ，解得﹣2≤a≤2．

∴实数a的取值范围是[﹣2，2]．

【解析】（1）化为分段函数，利用函数的增减性求得最值；（2）通过讨论a的取值，化为分段函数后由函数的单调性列出不等式求得．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的性质(函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集)．