Question

已知函数f（x）=x-

1

x

，求证：
（Ⅰ）f（x）是奇函数；
（Ⅱ）f（x）在（-∞，0）上是增函数．

Answer 1

分析：（I）先求函数的定义域，然后根据函数的奇偶性的定义进行判定即可；
（Ⅱ）利用取值、作差、变形、判断符号、下结论这五步进行证明，主要利用通分和提取公因式进行变形．

解答：证明：（Ⅰ）f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
f(x)=x-

1

x

，f(-x)=(-x)-

1

(-x)

=-x+

1

x

=-(x-

1

x

)，
∴f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数；
（Ⅱ）设任意的x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(x1-

1

x1

)-(x2-

1

x2

)=(x1-x2)+(

1

x2

-

1

x1

)=(x1-x2)+

x1-x2

x1x2

=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)=(x1-x2)•

x1x2+1

x1x2

，
∵x₁＜0，x₂＜0，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判定，以及单调性的判断和证明，利用定义法和导数法是解决函数单调性的基本方法．要求熟练掌握常见证明函数单调性的方法．属于基础题．