Question

【题目】已知函数，，其中．

讨论函数与的图象的交点个数；

若函数与的图象无交点，设直线与的数和的图象分别交于点P，证明：．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见证明

【解析】

原问题等价于求解方程根的个数，据此构造函数，分类讨论即可确定交点的个数；由可知，当函数与的图象无交点时，，据此构造函数证明题中的不等式即可．

函数与的图象交点个数即方程根的个数，

设，．

则在上单调递增，且．

当时，，则在上单调递减；

当时，，，则在上单调递增．

所以，当时，．

当，即时，函数无零点，即函数与的图象无交点；

当时，函数有一个零点，即函数与的图象有一个交点；

当时，又．

，所以在和上分别有一个零点．

所以，当时，有两个零点，即函数与的图象有两个交点．

综上所述：当时，函数与的图象的交点个数为0；

当时，函数与的图象的交点个数为1；

当时，函数与的图象的交点个数为2．

由可知，当函数与的图象无交点时，．

设，，由得，由得，

．

设，

先证明不等式，再证明，．

设则．

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

所以，即．

设则．

当时，，单调递减：

当时，，单调递增．

所以，即．

所以．

因为时，中等号成立，时，中等号成立，

而，所以等号不能同时成立．

所以．

所以．