Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线：，过抛物线焦点且与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，且的周长为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若过焦点且斜率为1的直线与抛物线相交于、两点，过点、分别作抛物线的切线、，切线与相交于点，求：的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.

【解析】

（1）将代入抛物线的方程可得点、的坐标分别为、，进而利用三角形的周长为，列出方程，求得，即可得到抛物线的方程；

（2）将直线方程为与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系，得到直线的方程，进而得到点的坐标为，再利用抛物线的几何性质，即可作出证明。

（1）由题意知，焦点的坐标为，

将代入抛物线的方程可求得，解得，

即点、的坐标分别为、，

又由，，

可得的周长为，即，解得，

故抛物线的方程为.

（2）由（1）得，直线方程为，

联立方程消去整理为：，则，

所以，.

又因为，则，

∴可得直线的方程为，整理为.

同理直线的方程为.

联立方程，解得，则点的坐标为.

由抛物线的几何性质知，，

.

有 .

∴.