Question

设函数f（x）=x（x-1）²．
（1）求f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（2）当a≥0时，讨论方程

f(x)

2x

+x-

1

2

-alnx=0的解的个数，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出函数在区间端点处的函数值，然后用导数求出极值，比较它们的大小，其中最大者为最大值，最小者为最小值；
（2）恰当构造函数，转化为函数零点问题，利用导数研究该函数的单调性及其最值，结合图象即可得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-4x+1，∵f′（x）＞0⇒x＞1或x＜

1

3

，∴f（x）在[

1

2

，1]上递减，在（1，2]上递增，
∴f（x）_min=f（1）=0，又f（

1

2

）=

1

8

，f（2）=2，
∴f（x）_max=f（2）=2．
（2）

f(x)

2x

+x-

1

2

-alnx=0?

1

2

x2-alnx=0，令g（x）=

1

2

x2-alnx，
则g′（x）=

(x- a )(x+ a )

x

，
①当a=0时，g（x）=

1

2

x2，则g（x）=0在（0，+∞）上无解；
②当a＞0时，则g（x）在（0，

a

）上递减，在（

a

，+∞）上递增，
∴g(x)min=g(

a

)=

a

2

-

a

2

lna，
又∵当x→0时，g（x）→+∞；当x→+∞时，g（x）→+∞，∴
（ⅰ）当

a

2

-

a

2

lna＞0即0＜a＜e时，g（x）=0在（0，+∞）上无解；
（ⅱ）当

a

2

-

a

2

lna=0即a=e时，g（x）=0在（0，+∞）上有一解；
（ⅲ）当

a

2

-

a

2

lna＜0即a＞e时，g（x）=0在（0，+∞）上有两解；
综上：当a＞e时，g（x）=0在（0，+∞）上有两解；当a=e时，g（x）=0在（0，+∞）上有一解；
当0≤a＜e时，g（x）=0在（0，+∞）上无解．

点评：本题考查利用导数研究函数最值、单调性问题，考查分析问题、解决问题的能力，本题中渗透了分类讨论思想及函数与方程思想．