题目内容
若关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是 ．
【答案】分析：根据绝对值的性质，我们可以求出|x-1|-|x-2|的最大值，结合不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，可得|x-1|-|x-2|＜a2+a+1恒成立，即a2+a+1大于|x-1|-|x-2|的最大值，解不等式可得实数a的取值范围．
解答：解：∵|x-1|-|x-2|=|x-1|-|2-x|≤|x-1-x+2|=1
若不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，
则|x-1|-|x-2|＜a2+a+1恒成立
即a2+a+1＞1
解得x＜-1或x＞0
∴实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（0，+∞）
故答案为：（-∞，-1）∪（0，+∞）
点评：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，其中根据绝对值的性质求出不等式左边的最值是解答的关键．
解答：解：∵|x-1|-|x-2|=|x-1|-|2-x|≤|x-1-x+2|=1
若不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，
则|x-1|-|x-2|＜a2+a+1恒成立
即a2+a+1＞1
解得x＜-1或x＞0
∴实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（0，+∞）
故答案为：（-∞，-1）∪（0，+∞）
点评：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，其中根据绝对值的性质求出不等式左边的最值是解答的关键．
练习册系列答案
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