Question

已知在(2x+

3

3 x

)n的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．
（1）求n的值；
（2）求含x²的项的系数；
（3）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）由

C

2 n

：

C

1 n

=5：2可解得n；
（2）设出其展开式的通项为T_r+1，令x的幂指数为2即可求得r的值；
（3）展开式中系数最大的项为T_r+1，利用T_r+1项的系数≥T_r+2项的系数且T_r+1项的系数≥T_r项的系数即可．

解答：解（1）∵

C

2 n

：

C

1 n

=5：2，
∴n=6…3分
（2）设(2x+

3

3 x

)n的展开式的通项为T_r+1，则T_r+1=

C

r 6

•2^6-r•3^r•x6-

4

3

r，
令6-

4

3

r=2得：r=3．
∴含x²的项的系数为

C

3 6

2^6-33³=4320；…7分
（3）设展开式中系数最大的项为T_r+1，则

C r n 2n-r3r ≥C r-1 n 2n-r+13r-1 C r n 2n-r3r ≥C r+1 n 2n-r-13r+1

，
∴r=4．
∴展开式中系数最大的项为T₅=4860x

2

3

…12分．

点评：本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，求展开式中系数最大的项是难点，考查解不等式组的能力，属于难题．