Question

在△ABC中，已知P为中线AD的中点．过点P作一直线分别和边AB、AC交于点M、N，设

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，
（Ⅰ）求证：△ABC的面积S△ABC=

1

2

BA•BC•sinB；
（Ⅱ）求当x+y=

4

3

时，求△AMN与△ABC的面积比．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过对当∠B是直角时，当∠B不是直角时，过A作直线BC的垂线，垂足为H，若∠B是锐角，若∠B是钝角，分别证明△ABC的面积S△ABC=

1

2

BA•BC•sinB；
（Ⅱ）由D为BC的中点，P为AD的中点，通过

MP

=

AP

-

AM

，

MN

=

AN

-

AM

=x

AB

-y

AC

，利用

MN

∥

MP

知，存在实数λ，使得

MP

=λ

MN

，得到x+y=

4

3

，xy=

1

3

，由（Ⅰ）求出

S△AMN

S△ABC

的值．

解答：证明：（Ⅰ）：当∠B是直角时，S_△ABC=

1

2

BA•BC=

1

2

BA•BC•sinB，结论成立，
当∠B不是直角时，过A作直线BC的垂线，垂足为H，
若∠B是锐角，则AH=AB•sinB，∴S_△ABC=

1

2

AH•BC=

1

2

BA•BC•sinB，
若∠B是钝角，则AH=AB•sin（π-B）=AB•sinB∴S_△ABC=

1

2

AH•BC=

1

2

BA•BC•sinB．
综上所述，S_△ABC=

1

2

BA•BC•sinB的结论成立．------------------（6分）
（Ⅱ）因为D为BC的中点，P为AD的中点，∴

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，

AP

=

1

2

AD

，∴

AP

=

1

4

(

AB

+

AC

）--------（8分）
∴

MP

=

AP

-

AM

=

1

4

(

AB

+

AC

)-x

AB

=(

1

4

-x)

AB

+

1

4

AC

MN

=

AN

-

AM

=x

AB

-y

AC

，
有

MN

∥

MP

知，存在实数λ，使得

MP

=λ

MN

，
可得

x

4

+

y

4

=xy，又x+y=

4

3

，xy=

1

3

，-----------------（13分）
由（Ⅰ）知

S△AMN

S△ABC

=

1 2 |AM|•|AN|•sinA

1 2 |AB|•|AB|•sinA

=

|AM|

|AB|

•

|AN|

|AC|

=xy=

1

3

．-----------------（16分）

点评：本题考查向量的基本运算，分类讨论的思想，三角形的面积的求法，向量之间的转化是解题的关键，考查计算能力．