Question

如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点．

（1）求点到面的距离；

（2）求异面直线与所成的角；

（3）求二面角的大小．

Answer 1

解：（1）取BC的中点D，连AD、OD

因为OB＝OC，则OD^BC、AD^BC，BC^面OAD.

过O点作OH^AD于H，则OH^面ABC，OH的长就

是所求的距离.  又BC＝2，OD＝

＝，又OA^OB，OA^OC OA^面OBC，则OA^OD

AD＝，在直角三角形OAD中，

有OH＝

（另解：由等体积变换法也可求得答案）

（2）取OA的中点M，连EM、BM，则

EM//AC,ÐBEM是异面直线BE与AC

所成的角，易求得EM＝，BE＝，

BM＝.由余弦定理可求得cosÐBEM＝，

ÐBEM＝arccos

（3）连CM并延长交AB于F，连OF、EF.

由OC^面OAB，得OC^AB，又OH^面ABC，所以CF^AB，EF^AB，则ÐEFC就是所求的二面角的平面角.

作EG^CF于G，则EG＝OH＝，在Rt△OAB中，OF＝

在Rt△OEF中，EF＝

sinÐEFG＝ÐEFG＝arcsin.（或表示为arccos）

注：此题也可用空间向量的方法求解。