Question

已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∝]内调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（3）对于函数g（x）=（p-x）e^-x+1，若存在x∈[1，e]，使不等式g（x）≥lnx成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x）因为f（x）在区间[1，+∞]内调递增令f′（x）≥0得到a的取值范围；
（2）a≥1时，∵f'（x）＞0在（1，e）上恒成立，所以f（x）在[1，e]上为增函数，所以求出f（x）的最小值f（1）；在当，∵f'（x）＜0在（1，e）上恒成立，这时f（x）在[1，e]上为减函数，所以求出最小值f（e）；在时，最小值为f（）．把最小值综合起来即可；
（3）把x=x代入到g（x）=（p-x）e^-x+1中得到g（x），然后设h（x）=（lnx-1）e^x+x，求出其导函数h′（x）并证明其大于零得到函数是增函数，则最小值为h（1），得到p≥h（1）．
解答：解：
（1）由已知，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即上恒成立
又∵当，
∴a≥1．即a的取值范围为[1，+∞）
（2）当a≥1时，∵f'（x）＞0在（1，e）上恒成立，这时f（x）在[1，e]上为增函数
∴f（x）_min=f（1）=0
①当，∵f'（x）＜0在（1，e）上恒成立，这时f（x）在[1，e]上为减函数∴
②当时，令又∵，
∴
综上，f（x）在[1，e]上的最小值为
①当时，；
②当时，
③当a≥1时，f（x）_min=0
（3）因为x∈[1，e]，所以，存在x∈[1，e]使成立，令h（x）=（lnx-1）e^x+x，从而p≥h_min（x）（x∈[1，e]）
由（2）知当a≥1时，成立，即在[1，e]上成立．
从而，
所以，h（x）=（lnx-1）e^x+x在[1，e]上单调递增．
所以，h_min（x）=h（1）=1-e所以，p≥1-e
点评：此题考查学生导数研究函数单调性的能力，恒等式成立的问题解决能力，以及利用导数求闭区间上的最值的能力．