Question

已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线y=kx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，求k的取值范围；
（3）若另一条直线l经过点P（-2，0）及线段AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，知a=b，由双曲线焦点（）到渐近线x±y=0的距离为1，知，由此能求出双曲线方程．
（2）设A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线y=kx+1代入双曲线x²-y²=1，得（1-k²）x²-2kx-2=0，因与左支交于两点，则，由此能求出k的取值范围．
（3）AB的中点为（），所以直线l的方程为（x+2），令x=0，得b==，由此能求出b的取值范围．
解答：解：（1）∵双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，
∴a=b，
∵双曲线焦点（）到渐近线x±y=0的距离为1，
∴，
解得a=b=1，
∴双曲线方程为x²-y²=1．
（2）设A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线y=kx+1代入双曲线x²-y²=1，得
（1-k²）x²-2kx-2=0，
因与左支交于两点，则
∴
解得1＜k＜．
（3）AB的中点为（），
即（），
∴直线l的方程为（x+2），
令x=0，得b==，
∵，
∴．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．