Question

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（1）、当f（x）奇函数时求a的值
（2）、当a=1时，求曲线y=f（x）过点（0，f（0））的切线方程；（4分）
（3）、当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（6分）

Answer 1

解：（1）∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x），
∴x（-x-a）²=x（x-a）²
∵x∈R
∴（-x-a）²=（x-a）²恒成立
∴a=0
（2）当a=1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，得f（0）=0，且f'（x）=-3x²+4x-1，
设切点（x₀，-x₀（x₀-1）²）
所以，切线方程y+x₀（x₀-1）²=（-3x₀²+4x₀-1）（x-x₀）
因为（0，0）在曲线上代入求得
所以所求的切线方程为：y=-x；y=0；．
（3）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x
f'（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x				a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函数f（x）在处取得极小值，且；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．
（2）若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x	（-∞，a）	a
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；
函数f（x）在处取得极大值，且．
分析：（1）根据f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），代入化简可得a的值；
（2）当a=1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，得f（0）=0，且f'（x）=-3x²+4x-1，设切点（x₀，-x₀（x₀-1）²）
可得切线方程y+x₀（x₀-1）²=（-3x₀²+4x₀-1）（x-x₀），将（0，0）代入，即可求得所求的切线方程；
（3）求导函数，并令f'（x）=0，解得或x=a．对a分两种情况讨论，利用函数在导数为0的附近，导数的符号变化，从而确定函数f（x）的极小值与极大值．
点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查切线方程，考查函数的极值，解题的关键是利用导数的几何意义，利用导数确定函数的单调性．