Question

数列{a_n}满足a₁=2且an+1=an+ln (1+

1

n

)(n∈N*)，则a_n=（　　）

A．an=2+ln n(n∈N*)

B．an=2+(n-1)ln n(n∈N*)

C．an=2+nln n(n∈N*)

D．an=1+n+ln n(n∈N*)

Answer 1

分析：由an+1=an+ln (1+

1

n

)(n∈N*)，得a_n+1-a_n=ln

n+1

n

，利用累加法可求得答案，注意检验n=1时的情形．

解答：解：由an+1=an+ln (1+

1

n

)(n∈N*)，得a_n+1-a_n=ln

n+1

n

，
∴n≥2时，a₂-a₁=ln2，a3-a2=ln

3

2

，a4-a3=ln

4

3

，…，an-an-1=ln

n

n-1

，
以上各式相加，得a_n-a₁=ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

=ln(2×

3

2

×

4

3

×…×

n

n-1

)=lnn，
又∵a₁=2，∴a_n=lnn+2（n≥2），
又a₁=2适合上式，
∴a_n=lnn+2，
故选A．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项，属中档题，已知a_n+1-a_n=f（n）求数列通项，常用累加法，注意检验n=1时的情形．