Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且CC₁=2AB．
（Ⅰ）求证：平面C₁CD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求三棱锥D-CBB₁的体积．

Answer 1

分析：（1）由直三棱柱的定义证明CC₁⊥平面ABC，
（2）连接BC₁交B₁C于点O，连接DO，由三角形中位线的性质得DO∥AC₁，从而证明AC₁∥平面CDB_1，
（3）等体积法，三棱锥D-CBB₁的体积和三棱锥B₁-CBD体积相等，BB₁为三棱锥D-CBB₁的高，△CBB₁是直角三角形，面积可求，故体积可求．

解答：证明：（Ⅰ）因为CC₁⊥平面ABC，
又CC₁?平面C₁CD，
所以平面C₁CD⊥平面ABC．（4分）
（Ⅱ）证明：连接BC₁交B₁C于点O，连接DO．
则O是BC₁的中点，DO是△BAC₁的中位线．
所以DO∥AC₁．（6分）
因为DO?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
所以AC₁∥平面CDB₁．（9分）
（Ⅲ）解：因为CC₁⊥平面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC．
所以BB₁为三棱锥D-CBB₁的高．（11分）
VD-CBB1=VB1-CBD=

1

3

S△BCD•BB1=

1

3

×

1

2

×

3

4

×22×4=

2 3

3

．
所以三棱锥D-CBB₁的体积为

2 3

3

．（14分）

点评：本题考查面面垂直的判定、线面平行的判定，用等体积法求三棱锥的体积．