Question

已知F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设A、B是这个椭圆上的两点，并且满足，当时，求直线AB的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知，解此方程组能够得到所求椭圆的方程．
（2）设直线AB的方程为y=k（x+2），由消去x得，解得．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再根据韦达定理结合题设条件进行求解．
解答：解：（1）由于，∴（3分）
解得，从而所求椭圆的方程为．（5分）
（2）∵三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），
其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由消去x得，
即．（6分）
根据条件可知
解得．（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，得
又由，得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
∴从而
消去y₂得．（10分）
令，任取，则=．∴φ（λ）是区间上的减函数，（12分）
从而，
即，∴，
解得或，适合0＜|k|＜．
因此直线AB的斜率的取值范围是．（14分）
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置和应用，解题时要注意公式的灵活运用，合理地进行等价转化．