Question

某工厂为某工地生产容器为

3

2

π(米3)的无盖圆柱形容器，容器的底面半径为r（米），而且制造底面的材料每平方米为30元，制造容器的材料每平方米为20元，设计时材料的厚度可忽略不计．
（1）制造容器的成本y（元）表示成r的函数；
（2）工地要求容器的底面半径r∈[2，3]（米），问如何设计容器的尺寸，使其成本最低？，最低成本是多少？（精确到元）

Answer 1

分析：（1）由无盖圆锥形容器容积为

3

2

π米³，我们设底面半径为r，易求出底面面积，及侧（容器壁）面积，然后再根据制造底面的材料每平方米30元，制造容器壁的材料每平方米20元，我们可得到容器的成本y（元）表示为r的函数的解析式；
（2）根据（1）中的容器的成本y（元）表示为r的函数的解析式，结合函数的单调性，我们易求出成本最低值，及对应的底面半径r的值．

解答：解：（1）容器壁的高为h米，容器的体积为V米³．
由V=πr2h，得πr2h=

3

2

π．
∴h=

3

2r2

∴y=30•πrr²+20•2πrh=30πr2+

60π

r

=30π(r2+

2

r

)(r＞0)
（2）由y=30π(r2+

2

r

)=30π(r2+

1

r

+

1

r

)≥30π•3

3	r2• 1 r • 1 r

=90π
当且仅当r2=

1

r

．即r=1时，取等号．
由1∉[2，3]；下面研究函数Q(x)=r2+

2

r

在r∉[2，3]上的单调性．
设2≤r₁＜r₂≤3，Q(r1)-Q(r2)=(r12+

2

r1

)-(r22+

2

r2

)=(

r

2 1

-

r

2 2

)+2(

1

r1

-

1

r2

)=(r1-r2)•

r1+r2-2

r1r2

，
∵2≤r₁＜r₂≤3，
∴(r1-r2)＜0，

r1+r2-2

r1r2

＞0，
∴Q（r₁）-Q（r₂）＜0，即Q（r）在[2，3]上为增函数．
当r=2时，y取得最小值150π≈465（元）．
∴当r=2米，h=

3

8

米时，造价最低为465元．

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．