Question

16．设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=x²-ax，其中a为实数．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是减少的，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围．
（2）若g（x）在（-1，+∞）上是增加的，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为$\frac{1}{x}$-a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；
（2）若g（x）在（-1，+∞）上是增加的，确定a的范围，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，
∴$\frac{1}{x}$-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}$，x∈（1，+∞）．
∴a≥1．
g（x）=x²-ax的对称轴为x=$-\frac{-a}{2}$=$\frac{a}{2}$，
若g（x）在（1，+∞）上有最小值，
则$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2．
故a的取值范围为：a＞2．
（2）g（x）=x²-ax的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，若g（x）在（-1，+∞）上是增加的，
则$\frac{a}{2}$＜-1，即a＜-2．
则f′（x）=$\frac{1}{x}$-a＞0，
即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则f（x）的零点个数为1个．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，考查的是可导函数的单调性与其导数的关系，结合一元二次函数的单调性是解决本题的关键．