Question

已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a+b|,求向量b与a-b的夹角.

Answer 1

活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a,b为邻边的A.BCD,若=a,=b,则=a+b,=a-b由|a|-|b|=|a+b|,可知∠ABC=60°,b与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b与a-b的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos〈b,a.-b〉=作为切入点,进行求解.

解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a.|,∴b²=(a+b)².

∴|b|²=|a|²+2a·b+|b|².

∴a·b=-|b|².

而b·(a-b)=b·a-b²=-|b|²-|b|²=-|b|²,①

由(a-b)²=a²-2a·b+b²=|b|²-2×(-)|b|²+|b|²=3|b|²,

而|a-b|²=(a-b)²=3|b|²,

∴|a-b|=3|b|.②

∵cos〈b,a.-b〉=,

代入①②,得cos〈b,a-b〉=-.

又∵〈b,a-b〉∈［0,π］,∴〈b,a-b〉=.

点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.