Question

在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为，椭圆的右焦点为，过作一条垂直于轴的直线与椭圆相交于，若线段的长为。
（1）求椭圆的方程；
（2）设是直线上的点，直线与椭圆分别交于点，求证：直线必过轴上的一定点，并求出此定点的坐标；

Answer 1

（1）依题意，椭圆过点，故，解得。…………（2分）
椭圆的方程为。……………………………（5分）
（2）设，直线的方程为，……………（6分）

代入椭圆方程，得， ……（7分）
设，则，
，故点的坐标为。…（8分）
同理，直线的方程为，代入椭圆方程，，
设，则，。
可得点的坐标为。………………………（10分）
①若时，直线的方程为，与轴交于点；……11
②若，直线的方程为，…（13分）
令，解得。综上所述，直线必过轴上的定点。

略