Question

（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，,,

平面,为的中点，.

（1）求证：∥平面;

（2）求四面体的体积.

Answer 1

（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：1）法一： 取AD得中点M，连接EM,CM.则EM//PA

因为

所以，EM∥平面PAB （2分）

在Rt△ACD中，

所以，

而,所以MC//AB （3分）

因为

所以，平面PAB （4分）

又因为

所以，平面EMC∥平面PAB

因为EC 平面EMC，∴EC∥平面PAB （6分）

法二： 延长DC,AB,交于N点，连接PN.

因为

所以C为ND的中点. （3分）

因为E为PD的中点，所以，EC//PN

因为

∴EC∥平面PAB （6分）

2）法一：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= .（7分）

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD （8分）

又因为CD⊥AC，AC∩PA=A，所以CD⊥平面PAC ..（10分）

因为E是PD的中点，所以点E平面PAC的距离h=，

所以，四面体PACE的体积 （12分）

法二：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=

因为PA⊥平面ABCD，所以 .（10分）

因为E是PD的中点，所以，四面体PACE的体积 ..（12分）

考点：本题考查线面平行的判定，求棱锥的体积