Question

函数f（x）满足lnx=

1+f(x)

1-f(x)

，且x₁，x₂均大于e，f（x₁）+f（x₂）=1，则f（x₁x₂）的最小值为

5

7

．

Answer 1

分析：先通过解方程得函数f（x）的解析式，由f（x₁）+f（x₂）=1，代入解析式并化简后得lnx₁lnx₂=ln（x₁•x₂）+3，利用均值定理即可求得ln（x₁•x₂）的取值范围，最后将x₁•x₂代入解析式得f（x₁x₂），利用函数单调性即可得其范围

解答：解：∵lnx=

1+f(x)

1-f(x)

，∴lnx-lnx•f（x）-1-f（x）=0∴f（x）=

lnx-1

lnx+1

∵f（x₁）+f（x₂）=1，
∴

lnx 1-1

lnx 1+1

+

lnx 2-1

lnx 2+1

=

(lnx 1-1)(lnx2+1)+(lnx1+1)(lnx2-1)

(lnx 1+1)(ln x2+1)

=

2lnx1lnx2-2

(lnx1+1)(ln x2+1)

=1
∴lnx₁lnx₂=ln（x₁•x₂）+3
∵x₁，x₂均大于e
∴lnx₁，lnx₂均大于1
∴lnx₁lnx₂=ln（x₁•x₂）+3≤(

lnx1+ lnx2

2

)2=

ln2(x1•x2)

4

∴ln²（x₁•x₂）-4ln（x₁•x₂）-12≥0
∴ln（x₁•x₂）≤-2（舍去）或ln（x₁•x₂）≥6
∴ln（x₁•x₂）≥6
∵f（x₁x₂）=

ln(x1•x2)-1

ln(x1•x2)+1

=1-

2

ln(x1•x2)+1

≥1-

2

6+1

=

5

7

 
（当且仅当

lnx1=lnx2 ln(x1•x2)=6

即x₁=x₂=e³时取等号）
故答案为

5

7

点评：本题考查了求函数解析式的方法，对数运算及对数变换技巧，利用均值定理及函数性质求最值的方法