Question

10．三角形的三个顶点分别为A（7，-4），B（1，1），C（-5，-7），求三角形的三个内角．

Answer 1

分析 由已知可求|AB|，|AC|，|BC|，$\overrightarrow{AB}$=（-6，5），$\overrightarrow{AC}$=（-12，-3），$\overrightarrow{BC}$=（-6，-8），从而可求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=72-15=57，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=-36+40=4，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=72+24=96，利用向量夹角公式即可求解．

解答 解：∵三角形的三个顶点分别为A（7，-4），B（1，1），C（-5，-7），
∴由题意和两点间的距离公式可得：|AB|=$\sqrt{（7-1）^{2}+（-4-1）^{2}}$=$\sqrt{61}$，同理可得|AC|=3$\sqrt{17}$，|BC|=10，
∴$\overrightarrow{AB}$=（-6，5），$\overrightarrow{AC}$=（-12，-3），$\overrightarrow{BC}$=（-6，-8），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=72-15=57，
∴cosA=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{57}{\sqrt{61}×3\sqrt{17}}$，解得：A≈53.84°
$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=-36+40=4，
cosB=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|×\overrightarrow{|BC}|}$=$\frac{4}{\sqrt{61}×10}$，解得：B≈87.06°
$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=72+24=96，
cosC=$\frac{\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CB}|×|\overrightarrow{CA}|}$=$\frac{96}{3\sqrt{17}×10}$，解得：B≈39.09°

点评 本题主要考查了两点间的距离公式，平面向量的夹角公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．