Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n,已知a₃=12,S₁₂>0,S₁₃<0.

(1)求公差d的取值范围；

(2)指出S₁、S₂、…、S₁₂中哪一个值最大，并说明理由.

Answer 1

解：(1)依题意有：

解之得公差d的取值范围为－＜d＜－3.

(2)解法一：由d＜0可知a₁>a₂>a₃>…>a₁₂>a₁₃,因此，在S₁，S₂，…，S₁₂中S_k为最大值的条件为：a_k≥0且a_k+1＜0,即

∵a₃=12,  ∴， ∵d＜0,  ∴2－＜k≤3－

∵－＜d＜－3,∴＜－＜4,得5.5＜k＜7.

因为k是正整数，所以k=6,即在S₁，S₂，…，S₁₂中，S₆最大.

解法二：由d＜0得a₁>a₂>…>a₁₂>a₁₃，

因此若在1≤k≤12中有自然数k,使得a_k≥0,且a_k+1＜0,则S_k是S₁，S₂，…，S₁₂中的最大值。又2a₇=a₁+a₁₃=S₁₃＜0,  ∴a₇＜0,     a₇+a₆=a₁+a₁₂=S₁₂>0,   ∴a₆≥－a₇>0

故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆最大.

解法三：依题意得：

最小时，S_n最大；

∵－＜d＜－3,  ∴6＜(5－)＜6.5.

从而，在正整数中，当n=6时，［n－ (5－)］²最小，所以S₆最大.