Question

求下列函数的值域：
（1）y=；
（2）y=sinx+cosx+sinxcosx；
（3）y=2cos+2cosx．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角公式化简y=为y=2cos²x+2cosx，然后配方整理求出最值；
（2）令t=sinx+cosx，推出t²=1+2sinxcosx，化简y=sinx+cosx+sinxcosx，为y=．根据t的范围求出函数的最值；
（3）利用两角和的余弦函数化简y=2cos+2cosx，然后利用两角和的余弦函数推出y=2cos．然后求出最值．
解答：解：（1）y===2cos²x+2cosx=2-．
于是当且仅当cosx=1时取得y_max=4，但cosx≠1，
∴y＜4，且y_min=-，当且仅当cosx=-时取得．故函数值域为．
（2）令t=sinx+cosx，则有t²=1+2sinxcosx，即sinxcosx=．
有y=f（t）=t+=．又t=sinx+cosx=sin，
∴-≤t≤．故y=f（t）=（-≤t≤），
从而知：f（-1）≤y≤f（），即-1≤y≤+．即函数的值域为．
（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx
=2=2cos．
∵≤1
∴该函数值域为[-2，2]．
点评：本题是基础题，考查三角函数的最值的求法，二倍角公式、两角和的正弦函数、余弦函数的应用，换元法的应用，（2）是难度较大题目．