Question

（08年上虞市质检二文） 已知平面直角坐标系中，，的外接圆为，双曲线分别以为左右焦点，且离心率。

（Ⅰ）求圆及双曲线的方程；

（Ⅱ）设双曲线的右顶点为，点为圆上异于的动点，过原点作直线的垂线交直线于点，判断直线与圆的位置关系，并给出证明。

Answer 1

解析：（Ⅰ）

外接圆以原点为圆心，线段为半径，故其方程为

，又， 可得

所求的双曲线方程是

（Ⅱ）直线与圆相切。

证明：设，则

当时，

当时，，，

直线的方程为

点的坐标为

当时，，

当时，，

时，

故直线始终与圆相切。