题目内容
函数f（x）=-x3-3x2+1在[a，+∞）上的最大值为1，求a的取值范围（ ）A．[-3，+∞）
B．（-3，+∞）
C．（-3，0）
D．[-3，0]
【答案】分析：对f（x）求导，研究出其单调性，结合其单调性以及函数值为1的时刻，确定a的取值范围．
解答：解：∵f（x）=-x3-2x2+1，
∴f′（x）=-3x2-6x，
令f′（x）=-3x2-6x=0，得x1=0，x2=-2，
列表讨论：
由f（x）=1，得-x3-3x2+1=1，解得x=0或x=-3．
当x＞0时，f（x）＜f（0）=1，当x＜-3时，f（x）＞f（-3）=1，
f（x）=-x3-2x2+1在[-2，+∞）上的最大值为1．
所以a的取值范围为[-3，0]．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，不等式求解，考查数形结合的思想、转化、计算能力．
解答：解：∵f（x）=-x3-2x2+1，
∴f′（x）=-3x2-6x，
令f′（x）=-3x2-6x=0，得x1=0，x2=-2，
列表讨论：
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，0） | （0，+∞） | |
| f′（x） | - | + | - | ||
| f（x） | ↓ | 极小值 | ↑ | 极大值 | ↓ |
当x＞0时，f（x）＜f（0）=1，当x＜-3时，f（x）＞f（-3）=1，
f（x）=-x3-2x2+1在[-2，+∞）上的最大值为1．
所以a的取值范围为[-3，0]．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，不等式求解，考查数形结合的思想、转化、计算能力．
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