Question

9．已知等差数列{a_n}满足a₃•a₇=-12，a₄+a₆=-4．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）当数列{a_n}的公差小于零时，求n取何值时，前n项和S_n有最大值，并求出它的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知得a₃，a₇是一元二次方程x²+4x-12=0的两个根，解方程x²+4x-12=0，得x₁=-6，x₂=2，从而得到a₃=-6，a₇=2或a₃=2，a₇=-6，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）当数列{a_n}的公差小于零时，a₁=6，d=-2，由此求出S_n，利用配方法能求出n取何值时，前n项和S_n有最大值，并能求出它的最大值．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}满足a₃•a₇=-12，a₄+a₆=a₃+a₇=-4，
∴a₃，a₇是一元二次方程x²+4x-12=0，
解方程x²+4x-12=0，得x₁=-6，x₂=2，
当a₃=-6，a₇=2时，
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=-6}\\{{a}_{1}+6d=2}\end{array}\right.$，解得a₁=-10，d=2，
a_n=-10+（n-1）×2=2n-12；
当a₃=2，a₇=-6时，
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=2}\\{{a}_{1}+6d=-6}\end{array}\right.$，解得a₁=6，d=-2，
a_n=6+（n-1）×（-2）=-2n+8．
（2）∵数列{a_n}的公差小于零，∴a₁=6，d=-2，
∴${S}_{n}=6n+\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=-n²+7n=-（n-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{49}{4}$，
∴当n=3或n=4时，S_n有最大值S₃=S₄=-$\frac{1}{4}+\frac{49}{4}$=12．

点评 本题考查等差数列的通项公式和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．