Question

已知圆的圆心与点关于直线对称，圆与直线相切.
（1）设为圆上的一个动点，若点，，求的最小值；
（2）过点作两条相异直线分别与圆相交于，且直线和直线的倾斜角互补，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由.

Answer 1

（1）-4；（2）直线和一定平行.

试题分析：本题主要考查圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的点乘、平面内两点间距离公式、点到直线的距离等基础知识.考查数形结合的数学思想.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，利用两个点关于直线对称，列出方程组，解出，即得到圆心坐标，再利用点到直线的距离求半径，写出圆的方程，利用向量的点乘列出式子，数形结合找出最小值；第二问，利用直线与圆的位置关系列出方程，得出两点的横坐标，利用斜率公式写出式子，判断两个斜率是否相等.
试题解析：（Ⅰ）设圆心，则中点坐标为，            1分
∵圆心与点关于直线对称，
∴，解得，                 3分
∴圆心到直线的距离，           4分
∴求圆的方程为．                                 5分
设，则，
∴，            6分
作直线：，向下平移此直线，当与圆相切时取得最小值，这时切点坐标为，
所以·的最小值为－4．                                8分
（Ⅱ）由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设：，
：，由，得．
因为点的横坐标一定是该方程的解，故可得，同理，，
则．
所以，直线和一定平行．                                 14分