Question

已知函数

f(x)=ax2-ex(a∈R)

．
（1）当a=1时，证明：f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，证明f′（x）＜0在R上恒成立，即可得到结论；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，则x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，可得方程2a=

ex

x

有两个根，构造函数φ(x)=

ex

x

，要使方程2a=

ex

x

有两个根，需2a＞φ（1）=e，即可得到结论．

解答：（1）证明：a=1时，f′（x）=2x-e^x，f″（x）=2-e^x，f″（x）＞0时，x＜ln2；f″（x）＜0时，x＞ln2，
∴f′（x）在区间（-∞，ln2）递增，在区间（ln2，+∞）递减，
∴f′（x）_max=f'（ln2）=2（ln2-1）＜0，即f′（x）＜0在R上恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）递减；
（2）解：若f（x）有两个极值点x₁，x₂，则x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，
故方程2ax-e^x=0有两个根x₁，x₂，又x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=

ex

x

有两个根，
设φ(x)=

ex

x

，φ′(x)=

ex(x-1)

x2

，当x＜0时，φ（x）＜0且φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
当x＞0时，φ（x）＞0，当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
当x＞1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
要使方程2a=

ex

x

有两个根，需2a＞φ（1）=e，即a＞

e

2

且0＜x₁＜1＜x₂，
故a的取值范围为(

e

2

，+∞)．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．