Question

2．设二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意x∈R，不等式f（x）≥4x恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=log_b[f（x）+4]的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数结果的点，以及函数的对称轴，列出方程组，求出二次函数的系数，即可求出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函数的真数的范围，然后求解函数g（x）=log_b[f（x）+4]的值域．

解答 解：（I）依题意二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意x∈R，不等式f（x）≥4x恒成立．
得$\left\{\begin{array}{l}f（0）=c=1\\ f（1）=a+b+c=4\\（b-4）^{2}-4ac≤0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\\ c=1\end{array}\right.$，∴f（x）=x²+2x+1…（6分）
（II）．由f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，∴f（x）+4≥4…（8分）
∴g（x）=log₂[（x+1）²+4]≥log₂4=2．
∴g（x的）值域为：[2，+∞）…（12分）

点评 本题考查二次函数的性质的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．