Question

14．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0），过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于C，D两点，若线段CD的中点的纵坐标为-2
（1）求抛物线C₁的方程；
（2）过点F的直线交抛物线C₁于A，B两不同点，交y轴于点N，已知$\overrightarrow{NA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{NB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，则λ₁+λ₂是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用“点差法”可得抛物线C₁的方程；
（2）设出直线AB联立抛物线方程，结合韦达定理，求出λ₁+λ₂的值，可得结论．

解答 解：（1）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵C，D在抛物线上，$\left\{\begin{array}{l}{y}_{1}^{2}=2{px}_{1}\\{y}_{2}^{2}=2{px}_{2}\end{array}\right.$，
两式相减得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k_CD=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-1，
即$\frac{2p}{-4}$=-1，
所以2p=4，则抛物线C₁的方程为y²=4x；
（2）设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
则N点坐标为（0，-k），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}=4x\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$并整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则x₃+x₄=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₃x₄=1，
由$\overrightarrow{NA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{NB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$得：λ₁（1-x₃）=x₃，λ₂（1-x₄）=x₄，
∴λ₁=$\frac{{x}_{3}}{1-{x}_{3}}$，λ₂=$\frac{{x}_{4}}{1-{x}_{4}}$，
∴λ₁+λ₂=$\frac{{x}_{3}}{1-{x}_{3}}$+$\frac{{x}_{4}}{1-{x}_{4}}$=$\frac{{{{（{x}_{3}+{x}_{4}）-2x}_{3}x}_{4}}_{\;}}{1-{{（{x}_{3}+{x}_{4}）+x}_{3}x}_{4}}$=$\frac{\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}-2}{1-\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}+1}$=-1．

点评 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的位置关系，存在性问题，难度中档．