Question

10．某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金196万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用24万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备使用后，每年的总收入为100万元，设从今年起使用n年后该设备的盈利额为f（n）万元．
（Ⅰ）写出f（n）的表达式；
（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；
（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备．问用哪种方案处理较为合算？请说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的前n项和公式即可得出；
（II）利用一元二次不等式的解法即可得出；
（III）利用基本不等式的性质、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依题意，得$f（n）=100n-196-[24n+\frac{n（n-1）}{2}8]=-4{n^2}+80n-196（n∈{N^*}）$．
（Ⅱ）由f（n）＞0得：-4n²+80n-196＞0即n²-20n+49＜0，解得$10-\sqrt{51}＜n＜10+\sqrt{51}$，由n∈N^*知，3≤n≤17，即从第三年开始盈利．
（Ⅲ）方案①：年平均盈利为$\frac{f（n）}{n}$，则$\frac{f（n）}{n}=-4（n+\frac{49}{n}）+80≤-4•2\sqrt{n•\frac{49}{n}}+80=24$，当且仅当$n=\frac{49}{n}$，即n=7时，年平均利润最大，
共盈利24×7+52=220万元．
方案②：f（n）=-4（n-10）²+204，当n=10时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204+16=220万元．
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．

点评 本题考查了等差数列的前n项和公式、一元二次不等式的解法、基本不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．