Question

【题目】已知函数（其中a为常数）．

（1）当a=1时，求f（x）在上的值域；

（2）若当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；

（3）设，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以f（g（m）），f（g（n）），f（g（p））为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）[2，] （2）-＜a＜（3）（-，-）∪（，）

【解析】

（1）当a=1时，f（x）=x+，结合对勾函数的图象和性质，可得f（x）在[，2]上的值域；

（2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a＜-2（2x）2+1+2x在[0，1]上恒成立，令t=2x，则t∈[1，2]，y=-2t2+t+1，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最小值，可得实数a的取值范围；

（3）换元，原问题等价于求实数a的范围，使得函数在给定的区间上，恒有2ymin＞ymax

解：（1）函数，

当a=1时，f（x）=x+，导数为f′（x）=1-=，

f（x）在[，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数，

∴当x=，或x=2时，函数最最大值，当x=1时，函数取最小值2，

故f（x）在[，2]上的值域为[2，]；

（2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立，

即2x+＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a2＜1+42x在[0，1]上恒成立，

1+42x在[0，1]递增，可得最小值为1+4=5，即a2＜5，解得-＜a＜；

（3）设t=g（x）==-1+在x∈[0，]递减，可得t∈[，1]，则y=t+，

原问题转化为求实数a的取值范围，使得y在区间[，1]上，恒有2ymin＞ymax．

讨论：①当0＜a2≤时，y=t+在[，1]上递增，∴ymin=3a2+，ymax=a2+1，

由2ymin＞ymax得a2＞，∴＜a≤；或-≤a＜-；

②当＜a2≤时，y=t+在[，|a]上单调递减，在[|a|，1]上单调递增，

∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=a2+1，

由2ymin＞ymax得2-＜|a|＜2+，∴＜|a|≤；

③当＜|a|＜1时，y=t+在[，|a|]上单调递减，在[|a|，1]上单调递增，

∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=3a2+，

由2ymin＞ymax得＜|a|＜，∴＜|a|＜1；

④当|a|≥1时，y=t+在[，1]上单调递减，∴ymin=a2+1，ymax=3a2+，

由2ymin＞ymax得a2＜，∴1≤a2＜；

综上，a的取值范围是（-，-）∪（，）．