Question

【题目】已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝＋2(n∈N*)．

(Ⅰ)计算a2，a3，a4的值；

(Ⅱ)根据计算结果猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)a2＝2＋，a3＝2＋，a4＝4.(Ⅱ)答案见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)利用，代入计算，可得结论；(Ⅱ)由(Ⅰ)根据前四项的公共规律，猜想，然后利用归纳法进行证明，检验时等式成立，假设时命题成立，证明时命题也成立即可.

试题解析：(Ⅰ)由a1＝3，an＋1＝＋2(n∈N*)可得a2＝2＋，a3＝2＋，

a4＝2＋＝4.

(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想：an＝2＋，n∈N*.

以下用数学归纳法证明：

(1)当n＝1时，左边a1＝3，右边2＋1＝3，符合结论；

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即ak＝2＋，

那么ak＋1＝＋2

＝＋2

＝＋2＝＋2，

所以当n＝k＋1时，猜想也成立，

根据(1)和(2)，可知猜想对于任意n∈N*都成立．