Question

已知函数在其定义域上满足．
（1）函数的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
（2）当时，求x的取值范围；
（3）若，数列满足，那么：
①若，正整数N满足时，对所有适合上述条件的数列，恒成立，求最小的N；
②若，求证：．

Answer 1

解：（1）依题意有．若，则，得，这与矛盾，∴，∴，故的图象是中心对称图形，其对称中心为点．
（2）∵，∴即又∵，∴
得．
（3）①由得，∴．由得，
即．令，则，又∵，∴，∴．
∵，∴，∴当时，．
【或∵，∴】
又∵也符合，∴，即，得．要使恒成立，只需，即，∴．故满足题设要求的最小正整数．
② 由①知，∴，
，∴当时，不等式成立．
证法1：∵，∴当时，


．
证法2：∵，∴当时，
．
证法3：∵，∴当时，
．
证法4：当时，∵，∴
，∴
．
证法5：∵，∴当时，．
综上，对任意的，都有．