Question

已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，c为半焦距，相邻两顶点的距离为

3

，椭圆C的离心率为

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：x+ky+1=0与椭圆C相交于A，B两点（A、B不是椭圆的顶点），以AB为直径的圆过椭圆C与y轴的正半轴的交点，求k的值；
（Ⅲ）过F₂的直线交椭圆C于M、N，求△MF₁N面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由已知：a²+b²=3，

c

a

=

2

2

，求出=

2

，b=1；即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程求出A、B两点的坐标之间的关系；再结合以AB为直径的圆过椭圆C与y轴的正半轴的交点P（0，1）的对应结论AP⊥BP即可求出k的值；（注意得到两个值时一定要检验）
（Ⅲ）设M，N两点的坐标分别为（e，f），（g，h）．先由S△MF 1N=S△MF 1F 2+SNF 1   F   2=

1

2

|F_!F₂|•|f-h|=c•|f-h|，转化为求|f-h|的最大值；再联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理求出|f-h|的表达式，再利用基本不等式求出|f-h|的最大值即可求△MF₁N面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得  a²+b²=3，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b=1．
∴椭圆的方程为  

x2

2

+y2=1．（3分）
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
将直线x+ky+1=0代入椭圆方程

x2

2

+y2=1中，整理得
（k²+2）y²+2ky-1=0
∵△=4k²+4（k²+2）=8k²+8＞0
∴y1+y2=

-2k

k2+2

，y₁•y₂=

-1

k2+2

．
∴x₁•x₂=（-ky₁-1）•（-ky₂-1）=k²y₁•y₂+k（y₁+y₂）+1=

-2k2+2

k2+2

∵以AB为直径的圆过椭圆与y轴正半轴的交点P（0，1），
∴AP⊥BP
∴k_AP•K_BP=-1
∴

y1-1

x1

•

y2-1

x2

=-1
∴y₁y₂-（y₁+y₂）+x₁x₂+1=0
∴

-1

k2+2

-

-2k

k2+2

+

-2k2+2

k2+2

+1=0．
整理得  k²-2k-3=0
∴k=-1，k=3
当k=-1时，直线x-y+1=0过椭圆的一个顶点（0，1），与已知矛盾，舍去．
∴k值为3．（8分）
（Ⅲ）设M，N、两点的坐标分别为（e，f），（g，h）．
直线MN与x轴夹角为α
由S△MF 1N=S△MF 1F 2+SNF 1   F   2=

1

2

|F_!F₂|•|f-h|=c•|f-h|
∴当|f-h|取得最大时，SMF 1N取得最大值．
设过F₂的直线为y=k（x-1），（k存在）
代入椭圆方程

x2

2

 + y2=1中，整理得
（

1

k2

+2)y2 +

2

k

y-1=0y²+

2

k

y-1=0
∴f+h=

-2k

2k2+1

，fh=

-k2

2k2+1

．
∴|f-h|²=（f+h）²-4fh=

4k2

(2k2+1)2

+

4k2

2k2+1

=

8k4+8 k2

(2k2+1)2

∴|f-h|²=

8tan2α•(1+tan2α)

(1+2tan2α)2

=

8sin2α

(1+sin2α)2

当k不存在时，也满足上式．
∴|f-h|=2

2

sinα

1+sin 2α

=2

2

•

1

sinα+ 1 sinα

≤

2

当且仅当sinα=

1

sinα

即sinα=1时，等号成立．
∴△MF₁N的面积的最大值为

2

．（14分）

点评：此题是个难题．本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，弦长公式和基本不等式的应用，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．