Question

【题目】如图，已知等边中， ， 分别为， 边的中点， 为的中点， 为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）

【解析】试题分析：（1）首先根据已知条件可证出，再由面面垂直的性质定理并结合平面平面可得出平面，然后再由和可证得，再在正中易证得平面，最后由面面垂直的判定定理即可得出所证的结论；（2）首先建立空间直角坐标系，并正确写出各点的空间坐标，然后由法向量的定义分别求出平面和平面的法向量，最后由公式即可计算出所求的角的大小.

试题解析：（Ⅰ）因为， 为等边的， 边的中点，

所以是等边三角形，且.因为是的中点，所以.

又由于平面平面， 平面，所以平面.

又平面，所以.因为，所以，所以.

在正中知，所以.而，所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（Ⅱ）设等边的边长为4，取中点，连接，由题设知，由（Ⅰ）知平面，又平面，所以，如图建立空间直角坐标系，则， ， ， ， .

设平面的一个法向量为，则

由得令，则.

平面的一个法向量为，所以，

显然二面角是锐角.所以二面角的余弦值为.