题目内容
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝
，M是CC1的中点．
(1)求证：A1B⊥AM；
(2)求二面角B ?AM?C的平面角的大小．.
（1）见解析（2）45°
【解析】(1)以点C为原点，CB、CA、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C－xyz，如图所示，
则B(1,0,0)，A(0，
，0)，A1(0，
，
)，M
.
所以
＝(1，－
，－
)，
＝
.
因为
·
＝1×0＋(－
)×(－
)＋(－
)×
＝0，所以A1B⊥AM.
(2)因为ABC ?A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以CC1⊥BC.
因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥平面AMC.
所以
是平面AMC的一个法向量，
＝(1,0,0)．
设n＝(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，
＝(－1，，0)，
＝
.
由
得
，令z＝2，得x＝
，y＝
.
所以n＝(
，
，2)
因为|
|＝1，|n|＝2
，所以cos〈
，n〉＝
＝
，
因此二面角B ?AM?C的大小为45°
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