题目内容

已知函数 $数学公式$ ，数列a_n满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n．

解：（1）由已知得， $\text{[math]}$ ，整理得 $\text{[math]}$
∴数列 $\text{[math]}$ 是首项，公差的等差数列．
∴ $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ （6分）
（2）∵ $\text{[math]}$
S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．（13分）
分析：（1）由已知得， $\text{[math]}$ ，从而得到 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是首项，公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式数列{a_n}的通项公式即可；
（2）根据 $\text{[math]}$ 利用拆项法即可求出S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1．
点评：本小题主要考查等差数列的应用、数列的求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．

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已知函数f（x）=

，若数列{a_n}满a₁=

，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，则a₂₀₀₆+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀=

已知函数f(x)＝(x≠－1)．设数列{a_n}满足a₁＝1，a_n+1＝f(a_n)，数列{b_n}满b_n＝|a_n－|，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n(n∈N^*)

(Ⅰ)用数学归纳法证明；

(Ⅱ)证明．

已知函数f（x）=

若数列{a_n}满a₁=

，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，则a₂₀₀₆+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀= ．

已知函数f（x）=

若数列{a_n}满a₁=

，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，则a₂₀₀₆+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀= ．