Question

【题目】已知函数f（x）=2 sin（x+ ）cos（x+ ）+sin2x+a的最大值为1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向左平移 个单位，得到函数g（x）的图象，若方程g（x）=m在x∈[0， ]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：解：∵函数f（x）=2 sin（x+ ）cos（x+ ）+sin2x+a= sin（2x+ ）+sin2x+a

= cos2x+sin2x+a=2sin（2x+ ）+a 的最大值为2+a=1，

∴a=﹣1．

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，

可得函数的增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：∵将f（x）的图象向左平移 个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+ ）+ ]﹣1

=2sin（2x+ ）﹣1的图象，

∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ]，

∴当2x+ = 时，g（x）取得最大值为 ﹣1；

当2x+ = 时，g（x）取得最小值﹣3，

故﹣3≤m≤ ﹣1

【解析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数f（x）的单调递增区间．（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得m的范围．
【考点精析】掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换是解答本题的根本，需要知道图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．