Question

（2013•浙江模拟）已知在等比数列{a_n}中，a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n（n∈N^*），求{b_n}的通项公式b_n．

Answer 1

分析：（1）设出等比数列的公比，直接利用a₂是a₁和a₃-1的等差中项列式求出公比，则等比数列的通项公式可求；
（2）当n=1时由递推式求出b₁，模仿递推式写出n=n-1时的递推式，作差后代入a_n即可求出b_n．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₂是a₁和a₃-1的等差中项得：
2a₂=a₁+a₃-1，∴2a1q=a1+a1q2-1，
∴2q=q²，∵q≠0，∴q=2，
∴an=2n-1；
（2）n=1时，由b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n，得b₁=a₁=1．
n≥2时，由b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n ①
b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1=a_n-1②
①-②得：nbn=an-an-1=2n-1-2n-2=2n-2．
bn=

2n-2

n

，
∴bn=

1，n=1 2n-2 n ，n≥2

．

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是基础题．