Question

18．已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，则$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=24．

Answer 1

分析 由中点的向量表示形式可得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），再由向量数量积的定义和性质，化简整理即可得到所求值．

解答 解：由P为边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，
可得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cosA=4×4×$\frac{1}{2}$=8，
则$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）²=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{2}$×（16+16+16）=24．
故答案为：24．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的中点的表示形式，以及运算能力，属于基础题．