Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，离心率为，点P为第一象限内横坐标为1的椭圆C上的点，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA、PB分别交椭圆C于两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆C的中心在原点，一个焦点为，离心率为，知c=，e==，由此能求出椭圆方程．
（2）由P点坐标为（1，），设PA的斜率为k，那么PB的斜率为-k．其方程分别为：y=k（x-1）+，y=-k（x-1）+，求出直线AB的斜率为．由椭圆方程为．设A点坐标为（cosa，2sina），直线AB方程为y-2sina=（x-2cosa），则P到AB的距离PD为=|sina-cosa|，AB的距离为|x₁-x₂|=，由此能求出△PAB面积最大值．
解答：解：（1）∵椭圆C的中心在原点，一个焦点为，离心率为，
∴c=，e==，
∵a²=b²+（）²，
解得a²=4，b²=2，
∴椭圆方程为．
（2）由已知，P点坐标为（1，），若PA的斜率为k，那么PB的斜率为-k．其方程分别为：
y=k（x-1）+，y=-k（x-1）+，
分别代入椭圆方程，得：
（k²+2）x²-（2k²-2k）x+（k²-2k-2）=0，
（k²+2）x²-（2k²+2k）x+（k²+2k-2）=0，
由于x=1是以上两个方程的解，所以将这两个方程分解因式得
（x-1）[（k²+2）x-（k²-2k-2）]=0
（x-1）[（k²+2）x-（k²+2k-2）]=0
所以x₁=（k²-2k-2），x₂=（k²+2k-2），
所以直线AB的斜率为：
=[-k（x₂-1）+-k（x₁-1）-]
=[2-（x₁+x₂）]k
=
=．
∵椭圆方程为．
∴设A点坐标为（cosa，2sina），直线AB方程为y-2sina=（x-cosa），
P到AB的距离PD为=|sina-cosa|，
AB的距离为|x₁-x₂|=，
把方程y-2sina=（x-cosa），代入椭圆方程，得
x²+（sina-cosa）x-2sinacosa=0，
x₁=cosa，x₂=-sina，
于是△PAB的面积=
=|sina-cosa|
=|sina²-cosa²|，
所以△PAB面积最大值为．
点评：本题考查椭圆方程的求法和三角形面积人最大值的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．易错点是直线AB的斜率的求解，解题时要认真审题，仔细解答．